Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，CD=BD，過點D作⊙O的切線交邊AC于點F，交AB的延長線于點E．

（1）求證：EF⊥AC；

（2）若AF=9，EF=12，求OE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OD，由切線的性質可得OD⊥DF，再利用圓周角定理證明AD⊥BC，根據等腰三角形的性質可證明OD∥AC，由平行線的性質即可得到EF⊥AC；

（2）首先根據勾股定理求出AE的長度，由OD∥AC，可得：△ODE∽△AEF，根據相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可得到關于OE的比例式，求出OE的值即可．

試題解析：

（1）證明：連接OD，如圖所示．

∵DF是⊙O的切線，D為切點，

∴OD⊥DF，

∴∠ODF=90°．

∵BD=CD，OA=OB，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∴∠CFD=∠ODF=90°，

∴EF⊥AC．

（2）∵AF=9，EF=12，EF⊥AC,

∴AE=

∵OD∥AC，

∴△AEF∽△OED,

∴ ,

即

∴OE=