Question

【題目】如圖1，已知點A（0，9），B（24，9），C（22+3 ，0），半圓P的直徑MN=6 ，且P，A重合時，點M，N在AB上，過點C的直線l與x軸的夾角α為60°．現點P從A出發以每秒1個單位長度的速度向B運動，與此同時，半圓P以每秒15°的速度繞點P順時針旋轉，直線l以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向運動（與x軸的交點為Q）．當P、B重合時，半圓P與直線l停止運動．設點P的運動時間為t秒．

【發現】
（1）點N距x軸的最近距離為 ， 此時，PA的長為；
（2）t=9時，MN所在直線是否經過原點？請說明理由．
（3）如圖3，當點P在直線l時，求直線l分半圓P所成兩部分的面積比．

（4）【拓展】如圖4，當半圓P在直線左側，且與直線l相切時，求點P的坐標．

（5）【探究】求出直線l與半圓P有公共點的時間有多長？

Answer 1

【答案】
（1）9﹣3 ；6
（2）解：MN所在直線經過原點，

理由：當t=9時，∠APN=180°﹣9×15°=45°，AP=9×1=9，

設此時直線MN交y軸于點D，

則AD=APtan45°=9×1=9，

又OA=9，

所以點D與點O重合，即MN所在直線經過原點

（3）解：如圖1，

當點P在直線l上時，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，

∴OQ=OH+QH=AP+ =t+ =3 +t，

∴CQ=t，

∵OQ+CQ=3 +t+t=OC=22+3 ，得t=11，

此時，∠APN=180°﹣11×15°=15°，

∠NPQ=180°﹣15°﹣60°=105°，

∠MPQ=180°﹣105°=75°，

∴S左：S右=105：75=7：5；

（4）解：如圖2，

設直線l與AB交于點E，與半圓P相切于點T，

則PT=3 ，PE= = =6，AE=AP+PE=t+6，

過點E作EF⊥x軸，垂足為F，

則OQ=OF+FQ=AE+ =（t+6）+ =6+3 +t，

CQ=t，

由OQ+CQ=6+3 +t+t=OC=22+3 ，得t=8，

此時，點P的坐標為（8，9）；

（5）解：當半圓P在直線右側，且與直線l相切時，如圖3所示，

設直線l與AB交于點G，與半圓P相切于點R，

則PR=3 ，PG= = =6，AG=AP﹣PG=t﹣6，

過點G作GJ⊥x軸，垂足為J，

則OQ=OJ+JQ=AG+ =（t﹣6）+ =3 ﹣6+t，

CQ=t，

由OQ+CQ=3 ﹣6+t+t=OC=22+3 ，得t=14，

則直線l與半圓P有公共點的時間為14﹣8=6秒．

【解析】解：發現（1）當PN∥y軸時，點N距x軸的最近，
∵A（0，9），
∴OA=9，
∵MN=6 ，
∴PN= MN=3 ，
∴點N距x軸的最近距離為9﹣3 ，
此時∠APN=90°，
∴t= =6，
∴PA的長為6；
所以答案是：9﹣3 ，6；