Question

【題目】在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，將△ABC繞點B逆時針旋轉α，其中0°＜α＜90°得△A1BC1 ， A1B交AC與點E，A1C1分別交AC、BC于D、F兩點．
（1）在旋轉過程中，線段EA1與FC有怎樣的數量關系？證明你的結論；
（2）當α=30°時，試判斷四邊形BC1DA的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：EA1=FC．理由如下：

∵AB=BC，∠ABC=120°，

∴∠A=∠C=30°，

∵△ABC繞點B逆時針旋轉α，其中0°＜α＜90°得△A1BC1，

∴∠ABE=∠FBC1=α，∠C1=∠C=30°，BC1=BC，BA=BA1，

∴BA=BC1，

在△BAE和△BC1F中

，

∴△BAE≌△BC1F，

∴BE=BF，

∵BA1=BC=BA，

∴EA1=FC

（2）解：四邊形BC1DA為菱形．理由如下：

∵α=30°，

∴∠ABA1=∠CBC1=30°，

而∠A1=∠C=30°，

∴∠ABA1=∠A1，∠CBC1=∠C，

∴AB∥A1C1，BC1∥AC，

∴四邊形BC1DA為平行四邊形，

∵BA=BC1，

∴四邊形BC1DA為菱形

【解析】（1）根據等腰三角形的性質可得∠A=∠C=30°，再根據旋轉的性質可得到∠ABE=∠FBC1=α，∠C1=∠C=30°，BC1=BC，BA=BA1 ， 則BA=BC1 ， 根據三角形判定方法易得△BAE≌△BC1F，得到BE=BF，又BA1=BC=BA，即可得到EA1=FC；（2）當α=30°時，∠ABA1=∠CBC1=30°，而∠A1=∠C=30°，則∠ABA1=∠A1 ， ∠CBC1=∠C，根據平行線的判定方法得到AB∥A1C1 ， BC1∥AC，得到四邊形BC1DA為平行四邊形，由BA=BC1 ， 根據菱形的判定方法即可得到四邊形BC1DA為菱形．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用旋轉的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．