Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經過點D，E是⊙O
上一點，且∠AED=45°。
（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。

Answer 1

（1）CD與⊙O相切，理由見解析（2）

解：（1）連接BD，OD，
∵AB是直徑，∴∠ADB=90°。
∵∠ABD=∠E=45°，∴∠DAB=45°，則AD=BD。
∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。
又∵DC∥AB，∴OD⊥DC， ∴CD與⊙O相切。
（2）過點O作OF⊥AE，連接OE，
則AF=AE=×10=5。
∵OA=OE，∴∠AOF=∠AOE。
∵∠ADE=∠AOE，∴∠ADE=∠AOF。
在Rt△AOF中，sin∠AOF=，
∴sin∠ADE= sin∠AOF =。
（1）連接OD，BD，由AB為直徑，∠AED=45°，證得△ABD是等腰直角三角形，即AD=BD，
然后由等腰三角形的性質，可得OD⊥AB，又由四邊形ABCD是平行四邊形，即可證得OD⊥CD，即可
證得CD與⊙O相切。
（2）過點O作OF⊥AE，連接OE，由垂徑定理可得AF=6，∠AOF=∠AOE，又由圓周角定理
可得∠ADE=∠AOE，從而證得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得
答案。