Question

【題目】如圖，拋物線 y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y軸于點M.
（1）求拋物線的表達式；
（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸于點E，交線段AM于點F，求線段DF長度的最大值，并求此時點D的坐標；
（3）拋物線上是否存在一點P，作PN垂直x軸于點N，使得以點P、A．N為頂點的三角形與△MAO相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知 .解得 .

∴拋物線的表達式為y= .

（2）

解：將x=0代入拋物線表達式，得y=1.∴點M的坐標為（0,1）.

設直線MA的表達式為y=kx+b，則

.解得k= ，b=1.∴直線MA的表達式為y= x+1.

設點D的坐標為（ ），則點F的坐標為（ ）.

DF=

= .

當 時，DF的最大值為 .

此時 ，即點D的坐標為（ ）.

（3）

存在點P，使得以點P、A．N為頂點的三角形與△MAO相似.

在Rt△MAO中，AO=3MO,要使兩個三角形相似，由題意可知，點P不可能在第一象限.

① 設點P在第二象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM,

∴ ，即 .

解得m=－3（舍去）或m=－8.又－3<M<0,故此時滿足條件的點不存在.

② 當點P在第三象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM,

∴ ，即 .

解得m=－3或m=8.此時點P的坐標為（－8，,15）.

③ 當點P在第四象限時，

若AN=3PN時,則－3 ，即 .

解得m=－3（舍去）或m=2.

當m=2時， .此時點P的坐標為（2，－ ）.

若PN=3NA,則－ ，即 .

解得m=－3（舍去）或m=10，此時點P的坐標為（10，,39）.

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（－8，,15）、（2，－ ）、（10，,39）.

【解析】（1）把三個點的坐標代入二次函數解析式，求出a、b、c的值；
（2）表示出D、F兩點的坐標和DF的長度，然后根據二次函數的性質求出最值；
（3）利用三角形的相似性進行解答。
【考點精析】利用二次函數的概念和二次函數的圖象對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數；二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．