Question

【題目】如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上．

（1）證明：B、C、E三點共線；

（2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=OM；

（3）將△DCE繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）后，記為△D1CE1（圖2），若M1是線段BE1的中點，N1是線段AD1的中點，M1N1=OM1是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠BCA=90°，

而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，

∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，

∴B、C、E三點共線；

（2）連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，如圖，

∵CB=CA，CD=CE，

∴Rt△BCD≌Rt△ACE，

∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，

∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，

又∵M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，而O為AB的中點，

∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM；

∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，

∴MN=OM；

（3）成立．理由如下：

和（2）一樣，易證得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，同里可證BD1⊥AE1，△ON1M1為等腰直角三角形，

從而有M1N1=OM1．

【解析】略