Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC與E，交BC與D．

（1）D是BC的中點；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）若 ，求⊙O的半徑。

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90° 即AD是底邊BC上的高．

又∵AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形，

∴D是BC的中點

（2）證明：∵∠CBE與∠CAD是同弧所對的圓周角，
∴ ∠CBE=∠CAD．
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；

（3）證明：由△BEC∽△ADC得： ， 即CD·BC=AC·CE．
∵D是BC的中點，
∴CD= BC．
又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE= BC ·BC=AB·CE 即BC =2AB·CE=12
∴AB=6
∴⊙O的半徑為3

【解析】（1）由AB是⊙O的直徑，證出AD是底邊BC上的高．根據等腰三角形三線合一的性質得出結論。
（2）根據同弧所對的圓周角相等，得出∠CBE=∠CAD，再根據兩組角對應相等的兩三角形相似。
（3）由△BEC∽△ADC得出對應邊成比例，即可求出圓的半徑。
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和圓周角定理的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．