Question

【題目】已知AM∥CN，點B為平面內一點，AB⊥BC于B.

(1)如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數量關系___；

(2)如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD=∠C；

(3)如圖3,在(2)問的條件下,點E. F在DM上,連接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數.

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）見解析；（3）105°.

【解析】

（1）根據平行線的性質以及直角三角形的性質進行解答即可；

（2）先過點B作BG∥DM，根據同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根據平行線的性質，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；

（3）先過點B作BG∥DM，根據角平分線的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設∠DBE=α，∠ABF=β，根據∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根據AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可得到∠ABE=15°，進而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．

（1）如圖1,∵AM∥CN，

∴∠C=∠AOB，

∵AB⊥BC，

∴∠A+∠AOB=90°，

∴∠A+∠C=90°，

故答案為∠A+∠C=90°；

(2)如圖2,過點B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，

∴DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°，

又∵AB⊥BC，

∴∠CBG+∠ABG=90°，

∴∠ABD=∠CBG，

∵AM∥CN∥BG，

∴∠C=∠CBG，

∴∠ABD=∠C；

(3)如圖3,過點B作BG∥DM，

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，

∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，

由(2)可得∠ABD=∠CBG，

∴∠ABF=∠GBF，

設∠DBE=α，∠ABF=β，

則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，

∴∠AFC=3α+β，

∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°，

∴∠FCB=∠AFC=3α+β，

在△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，

可得 (2α+β)+3α+(3α+β)=180°，①

由AB⊥BC，可得

β+β+2α=90°，②

由①②聯立方程組,解得α=15°，

∴∠ABE=15°，

∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.