【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，點F為CE的中點，連接DB， DF．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若DB平分∠ADC，AB=
∶DE=4∶1，求DE的長．
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】（1）直接利用直角三角形的性質得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；
（2）首先得出AB=BC即可得出它們的長，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=ADAE，進而得出答案．
（1）連接OD．
∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．
∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=∠EDC=90°．
∵點F為CE的中點，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．
又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切線．
（2）∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=∠ABC=90°．
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴
=
，∴BC=AB=5
．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．
又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，
∴△ADC～△ACE，∴
=
，∴AC2=ADAE．
設DE為x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，
∴100=4x5x，∴x=，∴DE=．
名校課堂系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（1）解方程：4（x+1）2-169=0；
（2）一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（π取3）是多少？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知四邊形ABCD的對角線AC，BD互相垂直，則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是( )
A. AC，BD互相平分
B. BA＝BC
C. AC＝BD
D. AB∥CD
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OADB的頂點A，B的坐標分別為A（﹣6，0），B（0，4）．過點C（﹣6，1）的雙曲線y=
（k≠0）與矩形OADB的邊BD交于點E．
（1）填空：OA= ，k= ，點E的坐標為 ；
（2）當1≤t≤6時，經過點M（t﹣1，﹣
t2+5t﹣
）與點N（﹣t﹣3，﹣t2+3t﹣
）的直線交y軸于點F，點P是過M，N兩點的拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點．
①當點P在雙曲線y=上時，求證：直線MN與雙曲線y=沒有公共點；
②當拋物線y=﹣x2+bx+c與矩形OADB有且只有三個公共點，求t的值；
③當點F和點P隨著t的變化同時向上運動時，求t的取值范圍，并求在運動過程中直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】為進一步推廣“陽光體育”大課間活動，某中學對已開設的A實心球，B立定跳遠，C跑步，D跳繩四種活動項目的學生喜歡情況，進行調查，隨機抽取了部分學生，并將調查結果繪制成圖1、圖2的統計圖，請結合圖中的信息解答下列問題：
（1）在這項調查中，共調查了多少名學生？
（2）請計算本項調查中喜歡“跑步”的學生人數和所占百分比，并將兩個統計圖補充完整；
（3）在扇形統計圖，請計算本項調查中喜歡“跑步”部分所對應的圓心角的度數；
（4）如果全校共1200名同學，請你估算喜歡“跑步”的學生人數．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形ABCD的周長為32，AB＝6，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點E，F，連結AF，CE，且EF與AC相交于點O.
(1)求AC的長；
(2)求證：四邊形AECF是菱形；
(3)求EF的長；
(4)求S△ABF與S△AEF的比值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，過點A（4，0）的兩條直線l1，l2分別交y軸于點B，C，其中點B在原點上方，點C在原點下方，已知AB＝2
．
（1）求點B的坐標；
（2）若△ABC的面積為20，求直線l2的解析式．
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