Question

【題目】如圖，在中，，，.點從點出發，沿折線—以每秒1個單位長度的速度向終點運動，點從點出發沿折線－以每秒3個單位長度的速度向終點運動，、兩點同時出發.分別過、兩點作于，于.設點的運動時間為（秒）.

（1）當、兩點相遇時，求的值.

（2）在整個運動過程中，求的長（用含的代數式表示）.

（3）當與全等時，直接寫出所有滿足條件的的長.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）5或或6

【解析】

(1)當P、Q兩點相遇時，P點運動距離與A點運動距離的和為AC與BC的長度和，進而可以列出方程，解出t即可；

(2)當點P在AC上時，即時，AP=t，可得PC=6-t，當點P在BC上時，AC+CP=t，此時CP=t-6;

(3)根據點P、Q運動的位置，與全等時有四種情況：①點P在AC上時，點Q在BC上，即；②當點P、點Q都在AC上時，即；③當點P在BC上，點Q在AC上時；④當點P在BC上，點Q在點A處時，即.在這四種情況下將CP與CQ的用t的式子表示出來，利用與全等，可得CP=CQ，可列出關于t的一元二次方程，解出t即可.

解：（1）由題意得:

，

∴，

∴的值為.

（2）當時，．

當時，．

（3）當點P運動t秒時，與全等，有以下四種情況：

①點P在AC上時，點Q在BC上，即，如圖所示：

此時CP=6-t，CQ=8-3t，則

6-t=8-3t.

解得：t=1,

此時CQ=8-3×1=5;

②當點P、點Q都在AC上時，即，如圖所示：

此時AP=t=14-3t,解得：t=,

此時CQ=6-=；

③當點P在BC上，點Q在AC上時，如圖所示：

此時無滿足條件的t,

因為當點P運動到BC上時，，

此時點Q已經與點A重合；

④當點P在BC上，點Q在點A處時，即，如圖所示：

此時CQ=CA=6,CP=t-6，

則6=t-6,解得：t=12，

此時CQ=6.

綜上所述，t的值為5或或6.