Question

【題目】如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點E，點F，EM平分∠AEF交CD于點M，且∠FEM＝∠FME．

（1）直線AB與直線CD是否平行，說明你的理由；

（2）如圖2，點G是射線MD上一動點（不與點M，F重合），EH平分∠FEG交CD于點H，過點H作HN⊥EM于點N，設∠EHN＝α，∠EGF＝β．

①當點G在點F的右側時，若β＝60°，求α的度數；

②當點G在運動過程中，α和β之間有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD，理由見解析；（2）①30°；②α＝β，證明見解析.

【解析】

（1）根據角平分線的性質及等量代換證明∠AEM＝∠FME即可．
（2）①根據平行線的性質求∠BEG，利用平角的定義求出∠AEG的度數，根據角平分線的定義求出∠HEN即可解決問題．
②結論：α=β．根據平行線的性質求∠BEG，利用平角的定義表示∠AEG的度數，根據角平分線的定義表示∠HEN即可解決問題．

（1）結論：AB∥CD．

理由：如圖1中，

∵EM平分∠AEF交CD于點M，

∴∠AEM＝∠MEF，

∵∠FEM＝∠FME．

∴∠AEM＝∠FME，

∴AB∥CD．

（2）①如圖2中，

∵AB∥CD，

∴∠BEG＝∠EGF＝β＝60°

∴∠AEG＝120°，

∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF

∴∠HEF＝∠HEG，∠AEM＝∠MEF

∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝60°，

∵HN⊥EM，

∴∠HNE＝90°，

∴∠EHN＝90°﹣∠HEN＝30°．

②猜想：α＝β．

理由：∵AB∥CD，

∴∠BEG＝∠EGF＝β，

∴∠AEG＝180°﹣β，

∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF

∴∠HEF＝∠HEG，∠AEM＝∠MEF

∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝90°﹣β

∵HN⊥EM，

∴∠HNE＝90°，

∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝β．