Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，點(diǎn)D在線段AB上從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動時間為t（s）．

（1）用含t的代數(shù)式表示BD的長；

（2）求AB的長；

（3）求AB邊上的高；

（4）當(dāng)△BCD為等腰三角形時，求t的值

Answer 1

【答案】（1）BD＝2t；（2）50cm；（3）24cm；（4）當(dāng)△BCD是等腰三角形時，t的值為12.5秒或15秒或18秒

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動速度即可得出結(jié)論；

（2）直接利用勾股定理即可得出結(jié)論；

（3）利用直角三角形的面積S△ABC＝ACBC＝ABCE，建立方程求解即可得出結(jié)論；

（4）分三種情況，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)及三角形中位線定理，即可得出結(jié)論．

（1）在Rt△ABC中，BC＝30cm，AC＝40cm，

根據(jù)勾股定理得，AB＝＝＝50cm，

當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)A時，t＝＝25秒，

∵點(diǎn)D的運(yùn)動速度為2cm/s，

∴BD＝2t（0≤t≤25）；

（2）由（1）知，AB＝50cm；

（3）如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，

根據(jù)三角形的面積得，S△ABC＝ACBC＝ABCE，

∴CE＝＝＝24cm，

即：AB邊上的高為24cm；

（4）∵△BCD為等腰三角形，

∴①當(dāng)BC＝BD時，由（1）知，BD＝2t，

∴2t＝30，

∴t＝15；

②當(dāng)CD＝CB時，如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥BD于E，

∴BD＝2BE＝2t，

∴BE＝t，

∵∠BEC＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，

∴△BEC∽△BCA，

∴，

∴BE＝＝18，

∴t＝18；

③當(dāng)BD＝CD時，如圖2，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，

∵BD＝CD，DF⊥BC

∴BF＝CF，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠BFD＝90°，

∴DF∥AC，

即：DF是△ABC的中位線，

∴BD/span>＝AB＝25，

∴2t＝25，

∴t＝12.5，

即：當(dāng)△BCD是等腰三角形時，t的值為12.5秒或15秒或18秒．