Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O，與斜邊AB交于點D、E為BC邊的中點，連接DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）填空：①若∠B=30°，AC=2，則DE=　 　；

②當∠B=　 　°時，以O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明就解析；（2）①3；②45．

【解析】試題分析：（1）運用垂徑定理、直角三角形的性質證明∠ODE=90°即可解決問題；

（2）①直接利用銳角三角函數關系得出BC的長，再利用直角三角形的性質得出DE的長；

②當∠B=45°時，四邊形ODEC是正方形，由等腰三角形的性質，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形，即可得到結論．

試題解析：（1）連接OD．

∵AC是直徑，∴∠ADC=90°，∴∠CDB=90°，

又∵E為BC邊的中點，∴DE為直角△DCB斜邊的中線，∴DE=CE= ．∴∠DCE=∠CDE，

∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，∴∠ODE=90°

∴DE是⊙O的切線．

（2）①∵∠B=30°，AC=2 ，∠BCA=90°，∴tan30°= =，解得：BC=6，

則DE=BC=3；

故答案為：3；

②當∠B=45°時，四邊形ODEC是正方形，

∵∠ACB=90°，∴∠A=45°，

∵OA=OD，∴∠ADO=45°，∴∠AOD=90°，∴∠DOC=90°，

∵∠ODE=90°，∴四邊形DECO是矩形，

∵OD=OC，∴矩形DECO是正方形．

故答案為：45．