Question

【題目】如圖，在中，設的對邊分別為，過點作，垂足為，會有，則

，即

同理，

通過推理還可以得到另一個表達三角形邊角關系的定理—余弦定理：

在中，若的對邊分別為，則

用上面的三角形面積公式和余弦定理解決問題：

（1）如圖，在中，，的對邊分別是3和8．

求和．

解：_______________；

______________．

（2）在中，已知，分別是以為邊長的等邊三角形，設的面積分別為，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）6，49；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出結論；

（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面積公式，再利用等邊三角形的性質即可得出結論；

方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出結論．

試題解析：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的對邊分別是3和8，

∴EF=3，DF=8，

∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，

DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，

故答案為：6，49；

（2）證明：方法1，∵∠ACB=60°，

∴AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos60°=AC2+BC2﹣ACBC，

兩邊同時乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣ACBCsin60°，

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等邊三角形，

∴S1=ACBCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，

∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，

方法2、令∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，

∴S1=absin∠C=absin60°=ab

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等邊三角形，

∴S2=ccsin60°=c2，S3=aasin60°=a2，S4=bbsin60°=b2，

∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），

∵c2=a2+b2﹣2abcos∠C=a2+b2﹣2abcos60°，

∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．