Question

【題目】已知，拋物線y=ax2﹣ax﹣4a與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，A點在B點左側，C點在x軸下方，且△AOC∽△COB

（1）求這條拋物線的解析式及直線BC的解析式；

（2）設點D為拋物線對稱軸上的一點，當點D在對稱軸上運動時，是否可以與點C，A，B三點，構成梯形的四個頂點？若可以，求出點D坐標，若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2，y=x﹣2；（2）見解析

【解析】分析：（1）將函數解析式變形為y=a（x-2）（x+）可得A、B坐標，由解析式知C（0，-4a），根據△AOC∽△COB知，據此求得a的值，進一步可得拋物線和直線BC解析式；
（2）分CD1∥AB、AD2∥BC、BD3∥AC三種情況，利用相似三角形的性質分別求解可得答案．

詳解：（1）∵y=ax2﹣x﹣4a=a（x﹣2）（x+），

∴由a（x﹣2）（x+）=0且a≠0可得x=2或x=，

由題意知點A（﹣，0）、B（2，0），

當x=0時，y=﹣4a，

∴點C（0，﹣4a），

∵C點在x軸下方，

∴﹣4a＜0，a＞0，

如圖1所示，

∵△AOC∽△COB，

∴，即，

解得：a=﹣（舍）或a=，

則拋物線解析式為y=x2﹣x﹣2，點C坐標為（0，﹣2），

設直線BC解析式為y=kx+b，

將B（2，0）、C（0，﹣2）代入，得：，

解得：，

∴直線BC解析式為y=x﹣2；

（2）拋物線的對稱軸為x=，

①如圖2，當CD1∥AB時，四邊形ACD1B為梯形，

∵點C（0，﹣2），

∴點D1坐標為（，﹣2）；

②如圖3，當AD2∥BC時，四邊形ACBD2為梯形，

∴∠D2AE=∠CBO，

∵∠AED2=∠BOC=90°，

∴△AD2E∽△BOC，

∴，即，

解得：D2E=，

∴點D2坐標為（，）；

③如圖4，當BD3∥AC時，四邊形ACBD3為梯形，

∴∠OAC=∠FBD3，

∵∠AOC=∠BFD3=90°，

∴△AOC∽△BFD3，

∴，即，

解得：FD3=3，

∴點D3的坐標為（，3）；

綜上，點D的坐標為（，﹣2）或（，）或（，3）．