Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，CD=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結AG、CF．
（1）求證：①△ABG≌△AFG； ②求GC的長；
（2）求△FGC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，

∵將△ADE沿AE對折至△AFE，

∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，

∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，

又∵AG=AG，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

，

∴△ABG≌△AFG（HL）；

②∵CD=3DE

∴DE=2，CE=4，

設BG=x，則CG=6﹣x，GE=x+2

∵GE2=CG2+CE2

∴（x+2）2=（6﹣x）2+42，

解得x=3，

∴CG=6﹣3=3；

（2）解：如圖，過C作CM⊥GF于M，

∵BG=GF=3，

∴CG=3，EC=6﹣2=4，

∴GE= =5，

CMGE=GCEC，

∴CM×5=3×4，

∴CM=2.4，

∴S△FGC= GF×CM= ×3×2.4=3.6．

【解析】（1）①利用翻折變換對應邊關系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；②利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2 ， 進而求出BG即可；（2）首先過C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面積法得，CM=2.4，進而得出答案
【考點精析】本題主要考查了翻折變換（折疊問題）的相關知識點，需要掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能正確解答此題．