Question

【題目】如圖①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過點C在△ABC外作直線MN,AM⊥MN于點M,BN⊥MN于點N.

(1)試說明:MN=AM+BN.

(2)如圖②,若過點C作直線MN與線段AB相交,AM⊥MN于點M,BN⊥MN于點N(AM>BN),(1)中的結論是否仍然成立?說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 答案見解析;(2) 不成立

【解析】試題分析：（1）利用互余關系證明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可證△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，即可得出結論；

（2）類似于（1）的方法，證明△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN與MN之間的數量關系．

試題解析：解：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB．

在△AMC和△CNB中，∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN，MC=NB．

∵MN=NC+CM，∴MN=AM+BN；

（2）圖（1）中的結論不成立，MN=BN-AM．理由如下：

∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB．

在△AMC和△CNB中，∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN，MC=NB．

∵MN=CM-CN，∴MN=BN-AM．