Question

【題目】如圖，已知在正方形中，對角線與相交于點，，分別是與的平分線，的延長線與相交于點，則下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是（ ）

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由正方形的性質可得∠ACD=∠ADB=45°，根據三角形外角性質及角平分線的定義可得∠AFD=∠ADF，可證明AF=AD，根據等腰三角形“三線合一”的性質可得AG⊥DF，可得AG為DF的垂直平分線，可判定①正確；根據垂直平分線的性質可得EF=ED，可得∠EFD=∠EDF，即可證明∠EFD=∠FDC，可得EF//CD，即可證明EF//AB，可判定②正確；根據正方形的性質可得AB=AD，即可證明AB=AF，可判定③正確，由EF=ED，EF為Rt△EOF的斜邊，可得ED＞OE，即可得出EF不是△OCD的中位線，可得CD≠2EF，根據AB=CD即可判定④錯誤；綜上即可得答案．

∵在正方形中，對角線與相交于點，

∴∠ACD=∠ADB=45°，∠DOC=90°，AB=AD，

∵DF為∠ODC的平分線，

∴∠ODF=∠CDF，

∴∠ADB+∠ODF=∠ACD+∠CDF，即∠AFD=∠ADF，

∴AD=AF，

∵AG為∠OAD的平分線，

∴AG⊥DF，故①正確，

∴AG為DF的垂直平分線，

∴ED=EF，

∴∠EFD=∠EDF，

∴∠EFD=∠CDF，

∴EF//CD，

∵AB//CD，

∴EF//AB，故②正確，

∵AD=AB，AD=AF，

∴AB=AF，故③正確，

∵EF=ED，EF為Rt△EOF的斜邊，

∴ED＞OE，

∵EF//CD，

∴EF不是△OCD的中位線，

∴CD≠2EF，即AB≠2EF，故④錯誤，

綜上所述：正確的結論有①②③，

故選：C．