Question

（本題12分）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐標系中，使AB的中點位于坐標原點O (如圖)，△ABC可以繞點O作任意角度的旋轉．

1.(1)　當點B在第一象限，縱坐標是時，求點B的橫坐標；

2.(2)　如果拋物線的對稱軸經過點C，請你探究：

①當，，時，A，B兩點是否都在這條拋物線上？并說明理由；

②設 ，是否存在這樣的m的值，使A，B兩點不可能同時在這條拋物線上？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.(1)　 ∵　點O是AB的中點，　∴　．                  （1分）

設點B的橫坐標是x(x>0)，則，                                                    （2分）

解得　，(舍去)．  

∴　點B的橫坐標是

2.(2)　①　當，，時，得　(＊)　

．                                                                                                    （5分）

以下分兩種情況討論．

情況1：設點C在第一象限(如圖甲)，則點C的橫坐標為，

．                              （6分）

由此，可求得點C的坐標為(，)，           （7分）

點A的坐標為(，)，

∵　A，B兩點關于原點對稱，

∴　點B的坐標為 (，)．

將點A的橫坐標代入(＊)式右邊，計算得，即等于點A的縱坐標；

將點B的橫坐標代入(＊)式右邊，計算得，即等于點B的縱坐標．

∴　在這種情況下，A，B兩點都在拋物線上．                                                      　 （9分）

 

 

情況2：設點C在第四象限(如圖乙)，則點C的坐標為(，-)，

點A的坐標為(，)，點B的坐標為

(，)．

經計算，A，B兩點都不在這條拋物線上．          （10分）

 

 

②　存在．m的值是1或-1．                                                                                          　 （12分）

(，因為這條拋物線的對稱軸經過點C，所以-1≤m≤1．當m=±1時，點C在x軸上，此時A，B兩點都在y軸上．因此當m=±1時，A，B兩點不可能同時在這條拋物線上)

【解析】略