Question

（1）已知a，b滿足a²+b²+4a-8b+20=0，試分解（x²+y²）-（b+axy）；
（2）計算：（1-

1

22

）（1-

1

32

）（1-

1

42

）…（1-

1

20082

）（1-

1

20092

）；
（3）設a=1999x+1998，b=1999x+1999，c=1999x+2000，求a²+b²+c²-ab-ac-bc的值．

Answer 1

（1）a²+b²+4a-8b+20=0，
（a+2）²+（b-4）²=0，
所以a=-2，b=4，
（x²+y²）-（4-2xy）
=x²+y²+2xy-4
=（x+y）²-4
=（x+y+2）（x+y-2）；

（2）原式=（1-

1

2

）×（1+

1

2

）×（1-

1

3

）×（1+

1

3

）×（1-

1

4

）×（1+

1

4

）×…×（1-

1

2008

）×（1+

1

2008

）×（1-

1

2009

）×（1+

1

2009

）
=

1

2

×

3

2

×

2

3

×

4

3

×

3

4

×…×

2007

2008

×

2009

2008

×

2008

2009

×

2010

2009

=

1

2

×

2010

2009

=

1005

2009

；

（3）2（a²+b²+c²-ab-ac-bc）
=（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²；
當a=1999x+1998，b=1999x+1999，c=1999x+2000時，
（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²
=（-1）²+（-2）²+（-1）²
=1+4+1
=6．
所以a²+b²+c²-ab-ac-bc=6÷2=3．