Question

【題目】如圖，弦BE與弦CD交于點G，點E為 的中點，過點B的直線交DC延長線于點A，AB∥DE．

（1）若AB=AG，求證：AB是⊙O切線；
（2）在（1）條件下，若tanA= ，DE=10，求⊙O的半徑．
（3）求證：AG2﹣BG2=ACAG．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，連接OB、OE交AD于F．

∵ = ，

∴OE⊥CD，

∴∠EFG=90°，

∴∠GEF+∠EGF=90°，

∵AB=AG，

∴∠ABG=∠AGB=∠EGF，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠ABG+∠OBE=90°，

∴∠ABO=90°

∴AB是⊙O的切線．

（2）解：如圖2中，連接OD．

∵AB∥DE，

∴∠A=∠ADE，

在Rt△DFE中，tan∠DFE= = ，設EF=3k，DF=4k，則DE=5k，

由題意DE=10，

∴5k=10，

∴k=2，

∴EF=6，DF=8，

設⊙O的半徑為r，

在Rt△ODF中，∵OD2=OF2+DF2，

∴r2=（r﹣6）2+82，

∴r= ．

（3）證明：如圖3中，連接BC．

∵AB∥DE，

∴∠A=∠ADE，

∵∠CBG=∠ADE，

∴∠CBG=∠A，∵∠BGC=∠AGB，

∴△BGC∽△AGB，

∴ = ，

∴BG2=AGCG，

∴AG2﹣BG2=AG2﹣AGCG=AG（AG﹣CG）=AGAC．

【解析】（1）連接OB、OE交AD于F．首先依據垂徑定理的推理可得到∠EFG=90°，則∠GEF+∠EGF=90°，接下來，再證明∠ABG=∠EGF，∠OBE=∠OEB，依據等式的性質可證明∠ABG+∠OBE=90°，最后依據切線的判定定理進行證明即可；
（2）連接OD．在Rt△DFE中，設EF=3k，DF=4k，依據勾股定理可知DE=5k，由題意DE=10，可得k=2，推出EF=6，DF=8，設⊙O的半徑為r，在Rt△ODF中，根據OD2=OF2+DF2列出關于r的方程求解即可；
（3）連接BC．首先證明△BGC∽△AGB，依據相似三角形的性質可得到BG2=AGCG，將BG2=AGCG代入變形即可.