Question

【題目】(2016山東濰坊第25題)如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（﹣9，10），AC∥x軸，點P時直線AC下方拋物線上的動點．

（1）求拋物線的解析式；（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標；

（3）當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x+1；（2）P（﹣，﹣）；（3）（﹣4，1）或（3，1）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數法求出拋物線解析式即可；（2）設點P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣m2﹣3m，再用S四邊形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE，建立函數關系式，求出極值即可；（3）先判斷出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況計算即可．

試題解析：（1）∵點A（0，1）．B（﹣9，10）在拋物線上，

∴，

∴b=2，c=1，

∴拋物線的解析式為y=x2+2x+1，

（2）∵AC∥x軸，A（0，1）

∴x2+2x+1=1，

∴x1=6，x2=0，

∴點C的坐標（﹣6，1），

∵點A（0，1）．B（﹣9，10），

∴直線AB的解析式為y=﹣x+1，

設點P（m， m2+2m+1）

∴E（m，﹣m+1）

∴PE=﹣m+1﹣（m2+2m+1）=﹣m2﹣3m，

∵AC⊥EP，AC=6，

∴S四邊形AECP

=S△AEC+S△APC

=AC×EF+AC×PF

=AC×（EF+PF）

=AC×PE

=×6×（﹣m2﹣3m）

=﹣m2﹣9m

=﹣（m+）2+，

∵﹣6＜m＜0

∴當m=﹣時，四邊形AECP的面積的最大值是，

此時點P（﹣，﹣）．

（3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2，

∴P（﹣3，﹣2），

∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，

∴PF=CF，

∴∠PCF=45°

同理可得：∠EAF=45°，

∴∠PCF=∠EAF，

∴在直線AC上存在滿足條件的Q，

設Q（t，1）且AB=9，AC=6，CP=3

∵以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，

①當△CPQ∽△ABC時，

∴，

∴，

∴t=﹣4，

∴Q（﹣4，1）

②當△CQP∽△ABC時，

∴，

∴，

∴t=3，

∴Q（3，1）．