Question

【題目】(2016貴州省畢節市第25題)閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經過B、C兩點，頂點D在正方形內部．

（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線；

（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；

（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當點A′在平行于坐標軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？

Answer 1

【答案】(1)、x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；(2)、y=（x﹣2）2+3；(3)、或

【解析】

試題分析：(1)、根據特征線直接求出點D的特征線；(2)、由點D的一條特征線和正方形的性質求出點D的坐標，從而求出拋物線解析式；(3)、分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質計算即可．

試題解析：(1)、∵點D（m，n）， ∴點D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；

(2)、點D有一條特征線是y=x+1， ∴n﹣m=1， ∴n=m+1

∵拋物線解析式為， ∴y=（x﹣m）2+m+1，

∵四邊形OABC是正方形，且D點為正方形的對稱軸，D（m，n）， ∴B（2m，2m），

∴（2m﹣m）2+n=2m，將n=m+1帶入得到m=2，n=3； ∴D（2，3）， ∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2+3

(3)、如圖，當點A′在平行于y軸的D點的特征線時，

根據題意可得，D（2，3）， ∴OA′=OA=4，OM=2， ∴∠A′OM=60°， ∴∠A′OP=∠AOP=30°，

∴MN==， ∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=．

當點A′在平行于x軸的D點的特征線時，

∵頂點落在OP上， ∴A′與D重合， ∴A′（2，3）， 設P（4，c）（c＞0），

由折疊有，PD=PA， ∴=c， ∴c=， ∴P（4，） ∴直線OP解析式為y=，

∴N（2，）， ∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=，

拋物線向下平移或距離，其頂點落在OP上．

考點(1)、折疊的性質；(2)、正方形的性質；(3)、特征線的理解