Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸只有一個交點A(－2，0)，與y軸交于點B(0，4).

（1）求拋物線對應的函數解析式；

（2）過點B做平行于x軸的直線交拋物線與點C.

①若點M在拋物線的AB段（不含A、B兩點）上，求四邊形BMAC面積最大時，點M的坐標；

②在平面直角坐標系內是否存在點P，使以P、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝(x＋2)2 （2）①點M的坐標為(－1，1) ②存在 所有滿足條件的點P的坐標是(2，０)、(－6，０)、(－2，8)

【解析】（1）由已知可設拋物線對應函數的解析式為：y=a（x+2）2（a≠0），∵拋物線與y軸交于點B（0，4）

∴4=a（0+2）2

解得：a=1

∴拋物線對應的解析式為：y=（x+2）2．

（2）①如圖1中，設點M的坐標為（m，（m+2）2），其中﹣2＜m＜0，則N點坐標（m，0）．

∵A、B、C是定點，∴若要四邊形BMAC的面積最大，只要BMA的面積最大即可．

過M做MN⊥x軸于點N，則

S△AOB=OAOB=×2×4=4

S△AMN=ANMN=×[m﹣（﹣2）]×（m+2）2=（m+2）3

S梯形ONMB=ON（MN+OB）

=×（﹣m）×[（m+2）2+4]

=﹣（m3+4m2+8m）

∴S△AMB=S△AOB﹣S△AMN﹣S梯形ONMB

=4﹣（m+2）3﹣[﹣（m3+4m2+8m）]

=﹣m2﹣2m，當m=﹣1時，S△AMB最大，∵（﹣1+2）2=1

∴此時點M的坐標為（﹣1，1）．

②存在．如圖2中，∵四邊形ABP1C是平行四邊形，∴FC=FB，AF=FP1，∵B（0，4），C（﹣4，4），∴F（﹣2，4），設P1（x，y），則有=﹣2， =4，∴x=﹣2，y=8，∴P1（﹣2，8），同法可得P2（﹣6，0），P3（2，0）．

所有滿足條件的點P的坐標是（2，0）、（﹣6，0）、（﹣2，8）．