Question

【題目】如圖，在△ABC中，E是AC邊上的一點，且AE＝AB，∠BAC＝2∠CBE，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，交BE于點F．

（1）求證：EF＝BF；

（2）求證：BC是⊙O的切線．

（3）若AB＝4，BC＝3，求DE的長，

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析；（3）0.8．

【解析】

根據三角形ABF中AB 為圓的直徑，且點F為圓上的點，則AF與BF垂直可解答第一問；根據第一問中的AF與BF垂直，還有題意中的∠BAC＝2∠CBE可以證明∠ABD為直角；根據圖中的△ABD∽△ACB直接可以解答第三問.

（1）證明：∵AE＝AB，

∴△ABE是等腰三角形，

∵AB為⊙O的直徑，

∴AF⊥BE，

∴EF＝BF；

（2）證明：∵AE＝AB，

∴△ABE是等腰三角形，

∴∠ABE＝（180°﹣∠BAC＝）＝90°﹣∠BAC，

∵∠BAC＝2∠CBE，

∴∠CBE＝∠BAC，

∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝（90°﹣∠BAC）+∠BAC＝90°，

即AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（3）解：連接BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ADB＝∠ABC，

∵∠A＝∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴，

∵在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝＝5，

∴

AD＝3.2，

∵AE＝AB＝4，

∴DE＝AE﹣AD＝4﹣3.2＝0.8．