Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AB于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AC=10，BC=16，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

連接OD、AD，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵AB=AC，

∴點D是BC的中點，

∵O是AC的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AB，

∴∠ODE=∠BED，

∵DE⊥AB，

∴∠ODE=90°，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：

∵AB=AC，且∠ADC=90°，

∴CD= BC=8，∠B=∠C，

∴AD= =6，

∵∠BED=∠CDA，

∴△BED∽△CDA，

∴ = ，即 = ，

∴AC=4.8．

【解析】（1）連接OD、AD，由三角形中位線定理可求得OD∥AB，可得OD⊥DE，可得DE為⊙O的切線；（2）由條件可先求得CD、AD，再利用△BED∽△CDA，可求得DE．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)的相關知識才是答題的關鍵．