Question

如圖，已知∠AOB=x（0°＜x＜180°），OC平分∠AOB，點N為OB上一個定點．通過畫圖可以知道：當∠AOB=45°時，在射線OC上存在點P，使△ONP成為等腰三角形，且符合條件的點有三個，即P₁（頂點為P₂），P₂（頂點為0），P₃（頂點為N）．
試問：當∠AOB分別為銳角、直角、鈍角時，在射線OC上使△ONP成為等腰三角形的點P是否仍然存在三個？請分別畫出簡圖并加以說明．

Answer 1

分析：當∠AOB為銳角時，當∠AOB=90°，時，當∠AOB為不等于120°的鈍角時，根據等腰三角形的判定，分為三種情況：ON=DN，OE=ON，ON=NF，畫出即可；當∠AOB為120°的鈍角時，這樣的點只有一個．

解答：解：當∠AOB為銳角時，這樣的點有三個：，如圖1：
當∠AOB=90°時，這樣的點有三個，如圖2：
當∠AOB為不等于120°的鈍角時，這樣的 點有三個，如圖3：
當∠AOB為120°的鈍角時，這樣的點只有一個，如圖4：
∵在射線OC上找一點P，使△ONP為等腰三角形，
∵∠PON=60°，此時△ONP必為等邊三角形，
∴這樣的點只有一個；
綜合上述：當∠AOB≠120°時，這樣的點都有三個；當∠AOB=120°時，這樣的點只有一個．

點評：本題考查了作圖，等腰三角形的判定的應用，主要考查了學生的作圖能力，題目較好，但是一道比較容易出錯的題目，注意要分類討論啊．