Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延長線交于點F，點E在CF上，且∠DEC=∠BAC．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）當AB=AC時，若CE=2，EF=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）先判斷出BD是圓O的直徑，再判斷出BD⊥DE，即可得出結論；

（2）根據余角的性質和等腰三角形的性質得到∠F=∠EDF，根據等腰三角形的判定得到DE=EF=3，根據勾股定理得到CD，證明△CDE∽△DBE，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）如圖，連接BD．

∵∠BAD=90°，∴點O必在BD上，即：BD是直徑，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．

∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．

∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．

∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；

（2）∵∠BAF=∠BDE=90°，∴∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB=90°．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

∵∠ADB=∠ACB，∴∠F=∠FDE，∴DE=EF=3．

∵CE=2，∠BCD=90°，∴∠DCE=90°，∴CD．

∵∠BDE=90°，CD⊥BE，∴∠DCE=∠BDE=90°．

∵∠DEC=∠BED，∴△CDE∽△DBE，∴，∴BD，∴⊙O的半徑．