Question

【題目】已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．

（1）求△AED的周長；

（2）若△AED以每秒2個單位長度的速度沿DC向右平行移動，得到△A0E0D0，當A0D0與BC重合時停止移動，設運動時間為t秒，△A0E0D0與△BDC重疊的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

（3）如圖②，在（2）中，當△AED停止移動后得到△BEC，將△BEC繞點C按順時針方向旋轉α（0°＜α＜180°），在旋轉過程中，B的對應點為B1，E的對應點為E1，設直線B1E1與直線BE交于點P、與直線CB交于點Q．是否存在這樣的α，使△BPQ為等腰三角形？若存在，求出α的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在α=30°，75°或165°，使△BPQ為等腰三角形

【解析】

試題分析：（1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；

（2）在△AED向右平移的過程中：

（I）當0≤t≤1.5時，如答圖1所示，此時重疊部分為一個三角形；

（II）當1.5＜t≤4.5時，如答圖2所示，此時重疊部分為一個四邊形；

（III）當4.5＜t≤6時，如答圖3所示，此時重疊部分為一個五邊形．

（3）根據旋轉和等腰三角形的性質進行探究，結論是：存在α（30°和75°），使△BPQ為等腰三角形．如答圖4、答圖5所示．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC=6．

在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，

∴AE=ADcos30°=3，DE=ADsin30°=3，

∴△AED的周長為：6+3+3=9+3．

（2）在△AED向右平移的過程中：

（I）當0≤t≤1.5時，如答圖1所示，此時重疊部分為△D0NK．

∵DD0=2t，∴ND0=DD0sin30°=t，NK=ND0÷tan30°=t，

∴S=S△D0NK=ND0NK=tt=t2；

（II）當1.5＜t≤4.5時，如答圖2所示，此時重疊部分為四邊形D0E0KN．

∵AA0=2t，∴A0B=AB﹣AA0=12﹣2t，

∴A0N=A0B=6﹣t，NK=A0Ntan30°=（6﹣t）．

∴S==×3×3﹣×（6﹣t）×（6﹣t）=t2+t﹣；

（III）當4.5＜t≤6時，如答圖3所示，此時重疊部分為五邊形D0IJKN．

∵AA0=2t，∴A0B=AB﹣AA0=12﹣2t=D0C，

∴A0N=A0B=6﹣t，D0N=6﹣（6﹣t）=t，BN=A0Bcos30°=（6﹣t）；

易知CI=BJ=A0B=D0C=12﹣2t，∴BI=BC﹣CI=2t﹣6，

S=S梯形BND0I﹣S△BKJ= [t+（2t﹣6）]·（6﹣t）﹣·（12﹣2t）（12﹣2t）=t2+t﹣．

綜上所述，S與t之間的函數關系式為：

．

（3）存在α，使△BPQ為等腰三角形．

理由如下：經探究，得△BPQ∽△B1QC，

故當△BPQ為等腰三角形時，△B1QC也為等腰三角形．

（I）當QB=QP時（如答圖4），

則QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，

即∠BCB1=30°，

∴α=30°；

（II）當BQ=BP時，則B1Q=B1C，

若點Q在線段B1E1的延長線上時（如答圖5），

∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，

即∠BCB1=75°，

∴α=75°；

若點Q在線段E1B1的延長線上時（如答圖6），

∵∠CB1E1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=15°，

即∠BCB1=180°﹣∠B1CQ=180°﹣15°=165°，

∴α=165°．

③當PQ=PB時（如答圖7），則CQ=CB1，

∵CB=CB1，

∴CQ=CB1=CB，

又∵點Q在直線CB上，0°＜α＜180°，

∴點Q與點B重合，

此時B、P、Q三點不能構成三角形．

綜上所述，存在α=30，75°或165°，使△BPQ為等腰三角形．