Question

【題目】（1）【證法回顧】證明：三角形中位線定理．

已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．

求證：　 　．

證明：添加輔助線：如圖1，在△ABC中，延長DE （D、E分別是AB、AC的中點）到點F，使得EF=DE，連接CF；

請繼續完成證明過程：

（2）【問題解決】

如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的長．

（3）【拓展研究】

如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG=，DF=2，∠GEF=90°，求GF的長．

Answer 1

【答案】（1）DE∥BC，DE=BC,證明見解析;（2）5; (3) ．

【解析】（1）分析：根據三角形的中位線定理填寫即可；利用“邊角邊”證明△ADE和△CFE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠A=∠ECF，全等三角形對應邊相等可得AD=CF，然后求出四邊形BCFD是平行四邊形，根據平行四邊形的性質證明即可．(2)由，正方形性質及E為AD 中點得出△ADE≌△CFE，由全等三角形推出，EF垂直平分GH，從而求解.(3) 過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，可證明△AEG≌△DEH，結合條件可得到△HPD為等腰直角三角形，可求得PF的長，在Rt△HFP中，可求得HF，則可求得GF的長．

（1）DE∥BC，DE=BC

證明：在△ADE和△CFE中， ，∴△ADE≌△CFE（SAS），

∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴CF∥AB，又∵AD=BD，∴CF=BD，

∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴DE∥BC，DE=BC．

（2）如圖2，延長GE、FD交于點H，

∵E為AD中點，

∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，

在△AEG和△DEH中

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG=HD=2，EG=EH，∵∠GEF=90°，∴EF垂直平分GH，

∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如圖3，過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，

同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=，

∵∠ADC=120°，∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°，

∴∠HDP=45°，∴△PDH為等腰直角三角形，

∴PD=PH=3，∴PF=PD+DF=3+2=5，

在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=3，PF=5，

∴HF= == ∴GF=．

點睛;本題考查了四邊形的綜合應用，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理；本題考查知識點較多綜合性較強，難度較大.