Question

【題目】探索與運用：

（1）基本圖形：如圖①，已知OC是∠AOB的角平分線，DE∥OB，分別交OA、OC于點D、E．求證：DE=OD；

（2）在圖②中找出這樣的基本圖形，并利用（1）中的規律解決這個問題：已知△ABC中，兩個內角∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作DE∥BC，交AB、AC于點D、E．求證：DE=BD+CE；

（3）若將圖②中兩個內角的角平分線改為一個內角（如圖③，∠ABC）、一個外角（∠ACF）和兩個都是外角（如圖④∠DBC、∠BCE）的角平分線，其它條件不變，則線段DE、BD、CE的數量關系分別是：圖③為 、圖④為 ：并從中任選一個結論證明．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）根據角平分線的定義得到∠AOC=∠BOC，根據平行線的性質得到∠DEO=∠BOC，等量代換得到∠DEO=AOC，根據等腰三角形的判定即可得到結論；

（2）根據△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O．求證∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠BCO，再利用兩直線平行內錯角相等，求證出∠DOB=∠DBO，∠COE=∠BCO，即BD=DO，OE=CE，然后利用等量代換即可求出結論；

（3）選③證明：由（1）中證明可得：DB=DO，EO=EC，根據線段的和差即可得到結論

證明：（1）∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC，

∵DE∥OB，

∴∠DEO=∠BOC，

∴∠DEO=AOC，

∴DE=OD；

（2）∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠BCO，

∵DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E．

∴∠DOB=∠DBO，∠COE=∠ECO，

∴BD=DO，OE=CE，

∴DE=BD+CE；

（3）圖③：DE=BD﹣CE，圖④：DE=BD+CE，

選③證明：

由（1）中證明可得：DB=DO，EO=EC，

∴DE=OD=OE=DB﹣CE．

故答案為：DE=BD﹣CE，DE=BD+CE．