Question

【題目】如圖1，已知△ABC是等腰三角形，且∠ACB=90°，△ADB是等邊三角形，點C在△ADB的內部，DE⊥AC交直線AC于點E．
（1）你能證明“DE=CE”嗎？試一試；
（2）如圖2，若點C在△ADB的外部時，即點D、E在AB兩側，上述結論是否還成立？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，過F作DF⊥BC，交BC延長線于F，則∠BFD=90°，

∵△ABD是等邊三角形，

∴∠DAB=∠DBA=60°，AD=BD，

∵△ABC是等腰三角形，且∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∴∠DAC=∠DBF=60°﹣45°=15°，

∵DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∴∠AED=∠BFD，

∴△ADE≌△BDF，

∴DF=DE，

∵∠BFD=∠AED=∠FCE=90°，

∴四邊形DFCE是矩形，

∵DE=DF，

∴矩形DFCE是正方形，

∴DE=CE

（2）證明：如圖2，過D作DF⊥BC，交CB的延長線于F，則∠F=90°，

∵△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，∠DAB=∠DBA=60°，

同理∠CAB=∠CBA=45°，

∴∠EAD=∠DBF=180°﹣60°﹣45°=75°，

∵∠AED=∠BFD=90°，

∴△AED≌△BFD，

∴DE=DF，

同理得：四邊形DFCE是正方形，

∴DE=CE．

【解析】（1）如圖1，作垂線，構建全等三角形，證明△ADE≌△BDF，得DF=DE，再證矩形DFCE是正方形，從而得出結論：DE=CE；（2）如圖2，同理證明△AED≌△BFD和四邊形DFCE是正方形，得出結論．
【考點精析】關于本題考查的等腰直角三角形和等邊三角形的性質，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能得出正確答案．