Question

【題目】如圖，直線y=kx+8（k＜0）交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B．將△AOB關(guān)于直線AB翻折得到△APB．過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交線段BP于點(diǎn)C，在AC上取點(diǎn)D，且點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)，連結(jié)BD．

（1）求證：AC=BC

（2）若AC=10．

①求直線AB的表達(dá)式．

②若△BCD是以BC為腰的等腰三角形，求AD的長(zhǎng)．

（3）若BD平分∠OBP的外角，記△APC面積為S1，△BCD面積為S2，且=，則的值為______（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①y=-x+8；②20或22；（3）.

【解析】

（1）由平行線的性質(zhì)可得出∠BAC=∠ABO，由折疊的性質(zhì)可知∠ABO=∠ABC，進(jìn)而可得出∠BAC=∠ABC，由等角對(duì)等邊即可證出AC=BC；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E．①利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出OA的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出BE的長(zhǎng)度，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求出CE的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出OB，AE的長(zhǎng)度，由OB的長(zhǎng)度可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的表達(dá)式；

②分BC=DC及BC=BD兩種情況考慮：當(dāng)BC=DC時(shí)，由AC=BC=10，可求出AD的長(zhǎng)度；當(dāng)BC=BD時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合①的結(jié)論可求出CD的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出AD的長(zhǎng)度．綜上，此問(wèn)得解；

（3）由折疊的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式可得出，設(shè)PC=2a，則CD=3a，易證△APC≌△BEC（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出CE=CP=2a，由角平分線的定義、平行線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得出CB=CD=AC=3a，在Rt△BCE中，CE=2a，進(jìn)而可得出OB=5a，AD=6a，二者相比后即可得出的值．

（1）證明：∵AC∥x軸，

∴∠BAC=∠ABO．

由折疊的性質(zhì)，可知：∠ABO=∠ABC，

∴∠BAC=∠ABC，

∴AC=BC．

（2）解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，如圖1所示．

①當(dāng)x=0時(shí)，y=kx+8=8，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），BE=OA=8．

在Rt△BCE中，BC=AC=10，BE=8，

∴CE==6，

∴OB=AE=AC+CE=16，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（16，0）．

將點(diǎn)B（16，0）代入y=kx+8，得：0=16k+8，

解得：k=-，

∴直線AB的表達(dá)式為y=-x+8．

②當(dāng)BC=DC時(shí)，AD=AC+CD=10+10=20；

當(dāng)BC=BD時(shí)，由①可知：CD=2CE=12，

∴AD=AC+CD=10+12=22．

綜上：AD的長(zhǎng)為20或22．

（3）由折疊的性質(zhì)，可知：AO=AP，∠APC=∠AOB=90°．

∵S△APC=APPC=AOPC，S△BCD=CDAO，OA=BE，

∴=，

設(shè)PC=2a，則CD=3a．

在△APC和△BEC中，

，

∴△APC≌△BEC（AAS），

∴PC=EC．

∵BD平分∠OBP的外角，CD∥x軸，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CD=CB=3a．

在Rt△BCE中，CB=3a，CE=2a，

∴BE==a，

∴OB=AC+CE=CD+CE=5a，AD=AC+CD=2CD=6a，

∴．