Question

【題目】情境觀察：

（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點F．
①寫出圖1中所有的全等三角形；
②線段AF與線段CE的數量關系是 ．
（2）問題探究：
如圖2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點E．
求證：AE=2CD．
（3）拓展延伸：
如圖3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，點D在AC上，∠EDC= ∠BAC，DE⊥CE，垂足為E，DE與BC交于點F．求證：DF=2CE．
要求：請你寫出輔助線的作法，并在圖3中畫出輔助線，不需要證明．

Answer 1

【答案】
（1）△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；AF=2CE
（2）解：證明：延長AB、CD交于點G，如圖2所示：

∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠GAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADG=90°，
在△ADC和△ADG中，
，
∴△ADC≌△ADG（ASA），
∴CD=GD，即CG=2CD，
∵∠BAC=45°，AB=BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBG=90°，
∴∠G+∠BCG=90°，
∵∠G+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
，
∴△ABE≌△CBG（ASA），
∴AE=CG=2CD
（3）解：作DG⊥BC交CE的延長線于G，
如圖3所示．

【解析】解：①圖1中所有的全等三角形為△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
故答案為：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB
②線段AF與線段CE的數量關系是：AF=2CE；
故答案為：AF=2CE．
（1）①根據等腰三角形的三線合一得出BE=CE,然后利用SSS判斷出△ABE≌△ACE；在Rt△ADC中∠DAC=45°，從而得出AD=DC ,根據等角的余角相等得出∠DAF=∠DCB ,從而利用ASA判斷出△ADF≌△CDB ；②由全等三角形對應邊相等得出AF=BC，又CE=BE,從而得出AF=2CE ；
（2）延長AB、CD交于點G，根據角平分線的定義得出∠CAD=∠GAD，根據垂直的定義得出∠ADC=∠ADG=90°，從而利用ASA判斷出△ADC≌△ADG ，根據全等三角形的性質得出CD=GD，即CG=2CD ，根據等腰三角形的性質及三角形的內角和得出∠ABC=90° ，∠CBG=90°，根據同角的余角相等得出∠BAE=∠BCG，從而利用ASA判斷出△ABE≌△CBG ，從而得出AE=CG=2CD ；
（3）作DG⊥BC交CE的延長線于G，同（2）證明三角形全等，得出DF=2CE 。