Question

【題目】已知，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E、G、H 分別在正方形ABCD邊AB、CD、DA上，AH=2．
（1）如圖1，當DG=2，且點F在邊BC上時.

求證：① △AHE≌△DGH；
② 菱形EFGH是正方形；
（2）如圖2，當點F在正方形ABCD的外部時，連接CF.

① 探究：點F到直線CD的距離是否發生變化？并說明理由；
② 設DG=x，△FCG的面積為S，是否存在x的值，使得S=1，若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：① 在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°，

在菱形EFGH中，EH=HG，

又∵ AH=DG=2，

∴ △AHE≌△DGH.

② 由（1）知△AHE≌△DGH，

∴ ∠AHE=∠DGH．

∵ ∠DGH+∠DHG=90°，

∴ ∠DHG+∠AHE=90°，

∴ ∠GHE=90°，

∴ 菱形EFGH是正方形．

（2）解：① 點F到直線CD的距離沒有發生變化，理由如下：

作FM⊥DC于M，連結GE. 如圖，

∵ AB∥CD, ∴∠AEG=∠MGE，

∵ HE∥GF, ∴∠HEG=∠FGE，

∴ ∠AEH=∠MGF．

在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，

∴ △AHE≌△MFG.

∴ FM=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2．

② 不存在.

∵ DG=x，∴ GC=6-x.

∴ S= S△FCG= ×2×(6-x)=6-x．

若S=S△FCG=1，∴ 由S△FCG=6-x，得x=5.

此時，在Rt△DGH中，HG= = ．

相應地，在Rt△AHE中，AE= ＞6，即點E已經不在邊AB上．

故不可能有S=1

【解析】（1）①利用正方形的性質和菱形的性質易證出結論；
②由△AHE≌△DGH可得∠AHE=∠DGH，再由∠DGH+∠DHG=90°可得∠GHE=90°，再由正方形的判定定理可證出；
（2）①作FM⊥DC于M，連結GE. 證△AHE≌△MFG，則FM=HA=2，從而得出結論；
②先根據△FCG的面積求出x的值，在Rt△DGH中，利用勾股定理可求出HG的長，在Rt△AHE中，求AE的長，比較可得結論.