Question

【題目】直線與直線垂直相交于，點在射線上運動，點在射線上運動，連接．

（1）如圖1，已知，分別是和角的平分線，

①點，在運動的過程中，的大小是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，試求出的大小．

②如圖2，將沿直線折疊，若點落在直線上，記作點，則_______；如圖3，將沿直線折疊，若點落在直線上，記作點，則________．

（2）如圖4，延長至，已知，的角平分線與的角平分線交其延長線交于，，在中，如果有一個角是另一個角的倍，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠ACB的大小不會發生變化，∠ACB=45°；（2）30，60；（3）60°或72°．

【解析】

（1）①由直線MN與直線PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根據三角形的外角的性質得到∠PAB+∠ABM=270°，根據角平分線的定義得到∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，于是得到結論；

②圖2中，由于將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分線的定義得到∠PAC=∠CAB，根據三角形的內角和即可得到結論；

圖3中，根據將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到結論；

（2）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，進而得出∠E的度數，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一個角是另一個角的倍分情況進行分類討論即可解答．

（1）①∠ACB的大小不變，

∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，

∴∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠PAB+∠ABM=270°，

∵AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，

∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，

∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，

∴∠ACB=45°；

②∵圖2中，將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，

∴∠CAB=∠BAQ，

∵AC平分∠PAB，

∴∠PAC=∠CAB，

∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，

∵∠AOB=90°，

∴∠ABO=30°，

∵圖3中，將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，

∴∠ABC=∠ABN，

∵BC平分∠ABM，

∴∠ABC=∠MBC，

∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，

∴∠ABO=60°，

故答案為：30，60；

（2）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，

∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，

∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，

∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，

∴∠EAF=90°．

在△AEF中，

∵有一個角是另一個角的倍，故有：

①∠EAF=∠E，∠E=60°，∠ABO=120°（不合題意，舍去）；

②∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；

③∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；

④∠E=∠F，∠E=54°，∠ABO=108°（不合題意，舍去）；．

∴∠ABO為60°或72°．