Question

【題目】如圖15，已知拋物線C：y＝x2－3x＋m，直線l：y＝kx(k＞0)，當k＝1時，拋物線C與直線l只有一個公共點．

(1)求m的值；

(2)若直線l與拋物線C交于不同的兩點A，B，直線l與直線l1：y＝－3x＋b交于點P，且＋＝，求b的值；

(3)在(2)的條件下，設直線l1與y軸交于點Q，問：是否存在實數k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)4；（2）8；（3）不存在.

【解析】試題分析：（1）兩圖象有一個交點，則對應的方程組有一組解，即△=0，代入計算即可求出m的值；

（2）作出輔助線，得到△OAC∽△OPD， ＋＝2，同理＋＝2，AC，BE是x2-（k+3）x+4=0兩根，即可；

（3）由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可．

試題解析：(1)∵當k＝1時，拋物線C與直線l只有一個公共點，

∴方程組有且只有一組解．

消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有兩個相等的實數根．

∴△＝0，即(－4)2－4m＝0．

∴m＝4．

(2)如圖，分別過點A，P，B作y軸的垂線，垂足依次為C，D，E，

則△OAC∽△OPD，∴＝．

同理， ＝．

∵＋＝，∴＋＝2．

∴＋＝2．

∴＋＝，即＝．

解方程組得x＝，即PD＝．

由方程組消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0．

∵AC，BE是以上一元二次方程的兩根，

∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4．

∴＝．

解得b＝8．

(3)不存在．理由如下：

假設存在，則當S△APQ＝S△BPQ時有AP＝PB，

于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．

由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝，

∴k＋3＝2×，即(k＋3)2＝16．

解得k＝1(舍去k＝－7)．

當k＝1時，A，B兩點重合，△QAB不存在．

∴不存在實數k使S△APQ＝S△BPQ．