Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有兩個不相等的實數根 （Ⅰ）求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若兩個實數根的平方和等于15，求實數m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有兩個不相等的實數根， ∴△=[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2﹣4）＞0，
∴m＞ ；
（Ⅱ）設此方程的兩個實數根為x1 ， x2
則x1+x2=2m+1，x1x2=m2﹣4，
∵兩個實數根的平方和等于15，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m+1）2﹣2（m2﹣4）=15，
解得：m=﹣3，m=1
【解析】（Ⅰ）根據題意可得△＞0，再代入相應數值解不等式即可；（Ⅱ）設此方程的兩個實數根為x1 ， x2 ， 根據根與系數的關系可得x1+x2=2m+1，x1x2=m2﹣4，根據“方程的兩個實數根的平方和為15”可得x12+x22=15，整理后可即可解出k的值．
【考點精析】本題主要考查了求根公式和根與系數的關系的相關知識點，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能正確解答此題．