Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△OAB的頂點A、B的坐標分別是A（0，5），B（3，1），過點B畫BC⊥AB交直線y=﹣m（m＞ ）于點C，連結AC，以點A為圓心，AC為半徑畫弧交x軸負半軸于點D，連結AD、CD．

（1）求證：△ABC≌△AOD；
（2）設△ACD的面積為S，求S關于m的函數關系式；
（3）若四邊形ABCD恰有一組對邊平行，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵A（0，5），B（3，1），

∴AB= =5，

∴AB=OA，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC和Rt△AOD中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△AOD

（2）解：解：過點B作直線BE⊥直線y=﹣m于E，作AF⊥BE于F，如圖，

∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴Rt△ABF∽Rt△BCE，

∴ ，即 ，

∴BC= (m+1），

在Rt△ACB中，AC2=AB2+BC2=25+ （m+1）2，

∵△ABC≌△AOD，

∴∠BAC=∠OAD，即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5，

∴∠4=∠5，

而AO=AB，AD=AC，

∴△AOB∽△ACD，

∴ = ，

而S△AOB= ×5×3= ，

∴S= （m+1）2+ （m＞ ）

（3）解：作BH⊥y軸于H，如圖，

當AB∥CD時，則∠ACD=∠CAB，

而△AOB∽△ACD，

∴∠ACD=∠AOB，

∴∠CAB=∠AOB，

而tan∠AOB= =3，tan∠ACB= = = ，

∴ =3，解得m=8；

當AD∥BC，則∠5=∠ACB，

而△AOB∽△ACD，

∴∠4=∠5，

∴∠ACB=∠4，

而tan∠4= ，tan∠ACB= ，

∴ = ，

解得m=3．

綜上所述，m的值為3或8

【解析】（1）由A、B兩點坐標根據勾股定理求出AB的值，根據HL得到Rt△ABC≌Rt△AOD；（2）根據題意得到Rt△ABF∽Rt△BCE，得到比例，求出BC的值，得到△AOB∽△ACD，根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方，求出S關于m的函數關系式；（3）由△AOB∽△ACD，得到比例，再根據三角函數值求出m的值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方，以及對銳角三角函數的定義的理解，了解銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數．