Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E、F在AB邊上，連接DE，CF交AD于G，點E是BF中點．

（1）求證：△AFG∽△AED
（2）若FG=2，G為AD中點，求CG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，點E是BF中點，

∴BD=CD，BE=EF，

∴DE是△BCF的中位線，

∴DE∥CF，

∴DE∥FG，

∴△AFG∽△AED

（2）解：∵G為AD中點，FG∥DE，

∴AF=EF，

∴FG是△ADE的中位線，

∴DE=2FG=4，

∴CF=2DE=8，

∴CG=FC﹣FG=8﹣2=6

【解析】（1）在△BCF中，D是BC的中點，E，是BF的中點，故DE是△BCF的中位線，根據中位線定理得出DE∥CF，然后根據平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似，判斷出△AFG∽△AED；
（2）根據中位線的判定由G為AD中點，FG∥DE，從而得出AF=EF，進而判斷出FG是△ADE的中位線，根據中位線定理得出DE=2FG=4，CF=2DE=8，進而得出CG的長。
【考點精析】掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定是解答本題的根本，需要知道連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．