Question

【題目】如圖1，矩形ABCD的邊AD在y軸上，拋物線經過點A、點B，與x軸交于點E、點F，且其頂點M在CD上。

（1）請直接寫出下列各點的坐標：

A ，B ，C ，D ；

（2）若點P是拋物線上一動點（點P不與點A、點B重合），過點P作軸的平行線l與直線AB交于點G，與直線BD交于點H，如圖2。

①當線段PH=2GH時，求點P的坐標；

②當點P在直線BD下方時，點K在直線BD上，且滿足△KPH∽△AEF，求△KPH面積的最大值。

　

圖1 圖2 備用圖

Answer 1

【答案】（1）A（0，3），B（4，3），C（4，－1），D（ 0，－ 1）：（2）①當點P的坐標為(3,0)或(-1,8)；

②

【解析】試題分析：（1）令x=0，得到點A的坐標，再根據點A的縱坐標得到點B的坐標，根據拋物線的頂點式和矩形的性質可得C．D的坐標；

（2）①根據待定系數法可得直線BD的解析式，設點P的坐標為（x，x2﹣4x+3），則點H（x，x﹣1），點G（x，3）．分三種情況：1°當x≥1且x≠4時；2°當0＜x＜1時；3°當x＜0時；三種情況討論可得點P的坐標；

②根據相似三角形的性質可得，再根據二次函數的增減性可得△KPH面積的最大值．

試題解析：解：（1）A（0，3），B（4，3），C（4，﹣1），D（0，﹣1）．

（2）①設直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0），由于直線BD經過D（0，﹣1），B（4，3），∴，解得： ，∴直線BD的解析式為y=x﹣1．

設點P的坐標為（x，x2﹣4x+3），則點H（x，x﹣1），點G（x，3）．

　1°當x≥1且x≠4時，點G在PH的延長線上，如圖①．

∵PH=2GH，∴（x﹣1）﹣（x2﹣4x+3）=2[3﹣（x﹣1）]，∴x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4．

當x2=4時，點P，H，G重合于點B，舍去，∴x=3，∴此時點P的坐標為（3，0）．

　2°當0＜x＜1時，點G在PH的反向延長線上，如圖②，PH=2GH不成立．

　3°當x＜0時，點G在線段PH上，如圖③．

∵PH=2GH，∴（x2﹣4x+3）﹣（x﹣1）=2[3﹣（x﹣1）]，∴x2﹣3x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=4（舍去），∴x=﹣1．此時點P的坐標為（﹣1，8）．

綜上所述可知，點P的坐標為（3，0）或（﹣1，8）．

②如圖④，令x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，∴E（1，0），F（3，0），∴EF=2，∴S△AEF=EFOA=3．

∵△KPH∽△AEF，∴，∴．

∵1＜x＜4，∴當時，s△KPH的最大值為．