Question

【題目】已知二次函數圖象的頂點橫坐標是2，與x軸交于A（x1，0）、

B（x2，0），x1﹤0﹤x2，與y軸交于點C，O為坐標原點，．

（1）求證：；

（2）求m、n的值；

（3）當p﹥0且二次函數圖象與直線僅有一個交點時，求二次函數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵二次函數圖象的頂點橫坐標是2，

∴拋物線的對稱軸為x=2，即，化簡得：n+4m=0．

（2）解：∵二次函數與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，

∴OA=－x1，OB=x2；．

令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|．

由三角函數定義得：．

∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即，化簡得：．

將代入得：，化簡得：．

由（1）知n+4m=0，

∴當n=1時，；當n=－1時，．

∴m、n的值為：，n=－1（此時拋物線開口向上）或，n=1（此時拋物線開口向下）．

（3）解：由（2）知，當p＞0時，n=1，，

∴拋物線解析式為：．

聯立拋物線與直線y=x+3解析式得到：，

化簡得：．

∵二次函數圖象與直線y=x+3僅有一個交點，

∴一元二次方程＊根的判別式等于0，即△=02+16（p－3）=0，解得p=3．

∴拋物線解析式為：．

當x=2時，二次函數有最大值，最大值為4．

∴當p＞0且二次函數圖象與直線y=x+3僅有一個交點時，二次函數的最大值為4．

【解析】

二次函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，銳角三角函數定義，二次函數的性質．

（1）由題意可知拋物線的對稱軸為x=2，利用對稱軸公式，化簡即得n+4m=0．

（2）利用三角函數定義和拋物線與x軸交點坐標性質求解．特別需要注意的是拋物線的開口方向未定，所以所求m、n的值將有兩組．

（3）利用一元二次方程的判別式等于0求解．當p＞0時，m、n的值隨之確定；將拋物線的解析式與直線的解析式聯立，得到一個一元二次方程；由交點唯一可知，此一元二次方程的判別式等于0，據此求出p的值，從而確定了拋物線的解析式；最后由拋物線的解析式確定其最大值．