Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，函數y=2x+8的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點A的直線交y軸正半軸于點M，且點M為線段OB的中點．

（1）求直線AM的函數解析式．

（2）試在直線AM上找一點P，使得S△ABP=S△AOB，求出點P的坐標．

（3）若點H為坐標平面內任意一點，在坐標平面內是否存在這樣的點H，使以A、B、M、H為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4；（2）點P的坐標為（-12，-8）或（4，8）；（3）存在，（-4，-4），（-4，4）或（4，12）．

【解析】

（1）通過函數y=2x+8求出A、M兩點坐標，由兩點坐標求出直線AM的函數解析式；

（2）設出P點坐標，按照等量關系“S△ABP=S△AOB”即可求出；

（3）設點H的坐標為（m，n），然后分三種情況進行討論即可.

（1）當x=0時，y=2x+8=8，
∴點B的坐標為（0，8）；
當y=0時，2x+8=0，
解得：x=-4，
∴點A的坐標為（-4，0）．
∵點M為線段OB的中點，
∴點M的坐標為（0，4）．
設直線AM的函數解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（-4，0），B（0，4）代入y=kx+b，得：，
解得：，
∴直線AM的函數解析式為y=x+4．
（2）設點P的坐標為（x，x+4），
∵S△ABP=S△AOB，
∴BM|xP-xA|=OAOB，即×4×|x+4|=×4×8，
解得：x1=-12，x2=4，
∴點P的坐標為（-12，-8）或（4，8）．

（3）存在， （-4，-4），（-4，4）或（4，12）．

設點H的坐標為（m，n）．
分三種情況考慮（如圖所示）：
①當AM為對角線時，，
解得：，
∴點H1的坐標為（-4，-4）；
②當AB為對角線時， ，
解得：，
∴點H2的坐標為（-4，4）；
③當BM為對角線時，，
解得：，
∴點H3的坐標為（4，12）．
綜上所述：在坐標平面內存在點H，使以A、B、M、H為頂點的四邊形是平行四邊形，點H的坐標為（-4，-4），（-4，4）或（4，12）．