Question

【題目】如圖1，直線分別與軸、軸交于A、B兩點，與直線交于點C（2，）．平行于軸的直線l從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿軸向右平移，到C點時停止；直線l分別交線段BC、OC、軸于點D、E、P，以DE為斜邊向左側作等腰直角△DEF，設直線l的運動時間為（秒）．

（1）求、的值；

（2）當為何值時，點F在軸上（如圖2）；

（3）設△DEF與△BCO重疊部分的面積為S，請求出S與的函數關系式，并寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當＝1時，點F在軸上；（3）當0＜t≤1時，S=﹣3t2+4t；當1＜t＜2時，S=（t﹣2）2．

【解析】分析：（1）利用待定系數法即可求得k和b的值；

（2）當F在y軸上時，F到DE的距離等于DE的長的一半，據此即可列方程求得t的值；

（3）分F在y軸的左側和右側兩種情況進行討論，當F在y軸的左側時，陰影部分是兩個等腰直角三角形面積的差，當F在y軸的右側時，陰影部分就是△DEF的面積，根據三角形的面積公式即可求得函數的解析式．

詳解：（1）把（2，）代入y=﹣x+b得：﹣+b=，解得：b=4；

把（2，）代入y=kx中，2k=，解得：k=．

故答案為：，4；

（2）由（1）得兩直線的解析式為：

y=﹣x+4和y=x，依題意得：OP=t，則D（t，﹣t+4），E（t，t），

∴DE=﹣2t+4，作FG⊥DE于G，則FG=OP=t．

∵△DEF是等腰直角三角形，FG⊥DE，∴FG=DE，即t=（﹣2t+4/span>），解得：t=1．

（3）當0＜t≤1時（如圖1），S△DEF=（﹣t+4﹣t）（﹣t+4﹣t）=（﹣2t+4）2=（t﹣2）2，在y軸的左邊部分是等腰直角三角形，底邊上的高是：（﹣t+4﹣t）﹣t=（﹣2t+4）﹣t=2﹣2t，則面積是：（2﹣2t）2．

S=（t﹣2）2﹣（2﹣2t）2=﹣3t2+4t；

當1＜t＜2時（備用圖），作FK⊥DE于點K．則：

S=（t﹣2）2．

綜上所述：當0＜t≤1時，S=﹣3t2+4t；當1＜t＜2時，S=（t﹣2）2．