Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC=90°，F是AC的中點，過AC上一點D作DE//AB，交BF的延長線于點E，AG⊥BE，垂足是G，連接BD、AE．

（1）求證：△ABC∽△BGA；
（2）若AF=5，AB=8，求FG的長；
（3）當AB=BC，∠DBC=30°時，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠ABC=90°，F是AC的中點，

∴BF= AC=AF，

∴∠FAB=∠FBA，

∵AG⊥BE，

∴∠AGB=90°，

∴∠ABC=∠AGB，

∴△ABC∽△BGA；

（2）

∵AF=5，

∴AC=2AF=10，BF=5，

∵△ABC∽△BGA，

∴ ，

∴BG= = = ，

∴FG=BG﹣BF= ﹣5=

（3）

延長ED交BC于H，如圖所示：

則DH⊥BC，

∴∠DHC=90°，

∵AB=AC，F為AC的中點，

∴∠C=45°，∠CBF=45°，

∴△DHC、△BEH是等腰直角三角形，

∴DH=HC，EH=BH，

設DH=HC=a，

∵∠DBC=30°，

∴BD=2a，BH= a，

∴EH= a，

∴DE=（ ﹣1）a，

∴ = ．

【解析】（1）由直角三角形斜邊上的中線性質得出BF=AF，得出∠FAB=∠FBA，再由∠ABC=∠AGB=90°，即可證出△ABC∽△BGA；（2）先求出AC、BF，再由三角形相似得出比例式 ，求出BG，即可得出FG；（3）延長ED交BC于H，則DH⊥BC，先證出△DHC、△BEH是等腰直角三角形，得出DH=HC，EH=BH，設DH=HC=a，求出BD=2a，BH= a，得出EH、DE，即可求出 的值．
【考點精析】利用相似三角形的應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．