Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于兩點（在左邊），且過點，頂點為，直線交軸于點．

（1）求的值；

（2）以為直徑畫⊙P，問：點在⊙P上嗎，為什么？

（3）直線與⊙P存在怎樣的位置關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=；（2）見解析（3）見解析

【解析】（1）將D（5，-3）代入解析式即可求出a的值；
（2）求出⊙P的半徑，計算出PD的長，與半徑比較即可判斷點D是否在⊙P上；
（3）由于MD經過半徑的外端，通過勾股定理的逆定理判斷出∠PDF=90°即可直線MD與⊙P相切．

解：（1）把D（5，-3）代入y=a（x-1）2-，得：a=．
（2）y=（x-1）2-，令y=0，得：x1=-4，x2=6，
∴A（-4，0），B（6，0），∴AB=10．
∵AB為⊙P的直徑，∴P（1，0），
∴⊙P的半徑r=5，
過點D作DE⊥x軸于點E，則E（5，0）．
∴PE=5-1=4，DE=3，
∴PD==5，
∴PD與⊙P的半徑相等，
∴點D在⊙P上．

（3）設直線MD的函數解析式為：y=kx+b（k≠0）
把M（1，-），D（5，-3）代入
得：，∴，
∴直線MD的函數解析式為：y=x-．
設直線MD與x軸交于點F，
令y=0則0=x-，得x=．
∴F（，0），
∴EF=-5=，
∴DF2=EF2+DE2=，
PF2=（OF-OP）2=（-1）2=，
DP2=25，
∴DP2+DF2=PF2
∴FD⊥DP，
又∵點D在⊙P上，
∴直線MD與⊙P相切．

“點睛”此題是一道結論開放性題目，考查了點和圓的位置關系、直線和圓的位置關系，通過函數解析式求出相應點的坐標及線段的長，是解答此題的必要環節．