Question

【題目】如圖1，已知點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足 ，ABCD的邊AD與y軸交于點E，且E為AD中點，雙曲線 經過C、D兩點．

（1）求k的值；
（2）點P在雙曲線 上，點Q在y軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，試求滿足要求的所有點P、Q的坐標；
（3）以線段AB為對角線作正方形AFBH（如圖3），點T是邊AF上一動點，M是HT的中點，MN⊥HT，交AB于N，當T在AF上運動時， 的值是否發生改變？若改變，求出其變化范圍；若不改變，請求出其值，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ +（a+b+3）2=0，且 ≥0，（a+b+3）2≥0，

∴ ，

解得： ，

∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），

∵E為AD中點，

∴xD=1，

設D（1，t），

又∵DC∥AB，

∴C（2，t﹣2），

∴t=2t﹣4，

∴t=4，

∴k=4；

（2）

解：∵由（1）知k=4，

∴反比例函數的解析式為y= ，

∵點P在雙曲線 上，點Q在y軸上，

∴設Q（0，y），P（x， ），

①當AB為邊時：

如圖1所示：

若ABPQ為平行四邊形，則 =0，解得x=1，此時P1（1，4），Q1（0，6）；

如圖2所示；

若ABQP為平行四邊形，則 = ，解得x=﹣1，此時P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；

如圖3所示；

②當AB為對角線時：AP=BQ，且AP∥BQ；

∴ = ，解得x=﹣1，

∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；

故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；

（3）

解：連NH、NT、NF，

∵MN是線段HT的垂直平分線，

∴NT=NH，

∵四邊形AFBH是正方形，

∴∠ABF=∠ABH，

在△BFN與△BHN中，

∵ ，

∴△BFN≌△BHN，

∴NF=NH=NT，

∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，

四邊形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN，

所以，∠ATN+∠AHN=180°，所以，四邊形ATNH內角和為360°，

所以∠TNH=360°﹣180°﹣90°=90°．

∴MN= HT，

∴ = ．

【解析】（1）先根據非負數的性質求出a、b的值，故可得出A、B兩點的坐標，設D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根據反比例函數的性質求出t的值即可；（2）由（1）知k=4可知反比例函數的解析式為y= ，再由點P在雙曲線 上，點Q在y軸上，設Q（0，y），P（x， ），再分以AB為邊和以AB為對角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標；（3）連NH、NT、NF，易證NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN= HT由此即可得出結論．
【考點精析】利用反比例函數的圖象和反比例函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．