Question

【題目】如圖1，△ABC和△DBC都是邊長為2的等邊三角形．

（1）以圖1中的某個點為旋轉中心，旋轉△DBC，就能使△DBC與△ABC重合，則滿足題意的點為： （寫出符合條件的所有點）；

（2）將△DBC沿BC方向平移得到△D1B1C1，如圖2、圖3，則四邊形ABD1C1是平行四邊形嗎？證明你的結論；

（3）在（2）的條件下，當BB1= 時，四邊形ABD1C1為矩形．

Answer 1

【答案】（1）B點、C點、BC的中點；（2）是平行四邊形．理由見解析；（3）2

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質，得到四邊形ABCD是菱形，從而再根據菱形是中心對稱圖形，得到旋轉中心有B點、C點、BC的中點；

（2）根據平移的性質，得到BB1=CC1，根據等邊三角形的性質，得到AC=B1D1，∠BB1D1=∠ACC1，從而得到△BB1D1≌△ACC1，則AB=C1D1，再根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明；

（3）根據等邊三角形的性質得出AD=BD=DD1，∠ADB=60°，進而得出∠BAD=90°，再利用矩形的判定得出即可．

解：（1）∵等邊△ABC和等邊△DBC有公共的底邊BC，

∴AB=BC=CD=AD，

∴四邊形ABCD是菱形．

∴要旋轉△DBC，使△DBC與△ABC重合，有三點分別為：B點、C點、BC的中點，

故答案為：B點、C點、BC的中點；

（2）四邊形ABD1C1是平行四邊形．理由如下：

根據平移的性質，得到BB1=CC1，

根據等邊三角形的性質，得到AC=B1D1，∠BB1D1=∠ACC1，

∴△BB1D1≌△ACC1，

∴AC1=BD1，

又AB=C1D1，

∴四邊形ABD1C1是平行四邊形；

（3）當移動距離BB1=2時，四邊形ABC1D1是矩形．

理由：連接BC1，AD1，

∵△ABD，△BDC都是邊長為2的等邊三角形，

∴AD=BD=DD1，∠ADB=60°，

∴∠DAD1=∠DD1A=30°，

∴∠BAD=60°+30°=90°，

∵由（2）可得出四邊形ABC1D1是平行四邊形，

∴平行四邊形ABC1D1是矩形．

故答案為：2．