Question

【題目】如圖，定義：若雙曲線 (k＞0)與它的其中一條對稱軸y＝x相交于A、B兩點，則線段AB的長度為雙曲線 (k＞0)的對徑．

(1)求雙曲線的對徑．

(2)若雙曲線 (k＞0)的對徑是，求k的值．

(3)仿照上述定義，定義雙曲線 (k＜0)的對徑．

Answer 1

【答案】（1）2（2）25 (3) 若雙曲線 (k＜0)與它的其中一條對稱軸y＝－x相交于A、B兩點，則線段AB的長稱為雙曲線 (k＜0)的對徑

【解析】解：如圖，過A點作AC⊥x軸于C，

（1）解方程組，得，

∴A點坐標為(1，1)，B點坐標為(－1，－1)。

∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝。∴AB＝2OA＝2，

∴雙曲線的對徑是2。

（2）∵雙曲線的對徑為，即AB＝，OA＝5。

∴OA＝OC＝AC，∴OC＝AC＝5。∴點A坐標為(5，5)。

把A(5，5)代入雙曲線 (k＞0)得k＝5×5＝25，即k的值為25。

（3）若雙曲線 (k＜0)與它的其中一條對稱軸y＝－x相交于A、B兩點，則線段AB的長稱為雙曲線 (k＜0)的對徑。

過A點作AC⊥x軸于C，

（1）解方程組，可得到A點坐標為(1，1)，B點坐標為(－1，－1)，即OC＝AC＝1，由勾股定理可求AB，于是得到雙曲線的對徑。

（2）根據雙曲線的對徑的定義得到當雙曲線的對徑為，即AB＝，OA＝5，根據OA＝OC＝AC，則OC＝AC＝5，得到點A坐標為(5，5)，把A(5，5)代入雙曲線 (k＞0)即可得到k的值；

（3）雙曲線 (k＜0)的一條對稱軸與雙曲線有兩個交點，根據題目中的定義易得到雙曲線（k＜0)的對徑。