Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣ x2+bx+4與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（8，0）

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸．
（2）連接AC、BC，試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由．
（3）M為拋物線上BC之間的一點(diǎn)，N為線段BC上的一點(diǎn)，若MN∥y軸，求MN的最大值；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)B（8，0）在拋物線y=﹣ x2+bx+4上，

∴﹣ ×64+8b+4=0，

解得：b= ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4，

對稱軸為直線x=﹣ =3

（2）

解：△AOC∽△COB．

理由如下：令y=0，則﹣ x2+ x+4=0，

即x2﹣6x﹣16=0，

解得：x1=﹣2，x2=8，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），

令x=0，則y=4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），

∴OA=2，OB=8，OC=4，

∵ = =2，∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB

（3）

解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得： ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+4，

∵M(jìn)N∥y軸，

∴MN=﹣ x2+ x+4﹣（﹣ x+4），

=﹣ x2+ x+4+ x﹣4，

=﹣ x2+2x，

=﹣ （x﹣4）2+4，

∴當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最大，最大值為4

（4）

解：由勾股定理得，AC= =2 ，

過點(diǎn)C作CD⊥對稱軸于D，則CD=3，

①AC=CQ時(shí)，DQ= = = ，

點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為4+ ，

此時(shí)點(diǎn)Q1（3，4+ ），

點(diǎn)Q在點(diǎn)D的下方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為4﹣ ，

此時(shí)點(diǎn)Q2（3，4﹣ ），

②點(diǎn)Q為對稱軸與x軸的交點(diǎn)時(shí)，AQ=5，

CQ= =5，

∴AQ=CQ，

此時(shí)，點(diǎn)Q3（3，0），

③當(dāng)AC=AQ時(shí)，∵AC=2 ，點(diǎn)A到對稱軸的距離為5，2 ＜5，

∴這種情形不存在．

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，4+ ）或（3，4﹣ ）或（3，0）時(shí)，△ACQ為等腰三角形．

【解析】（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b的值，即可得到拋物線解析式，再根據(jù)對稱軸方程列式計(jì)算即可得解；（2）令y=0，解方程求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x=0求出y的值得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出OA、OB、OC，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明；（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出解析式，再表示出MN，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；（4）利用勾股定理列式求出AC，過點(diǎn)C作CD⊥對稱軸于D，然后分①AC=CQ時(shí)，利用勾股定理列式求出DQ，分點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方和下方兩種情況求出點(diǎn)Q到x軸的距離，再寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；②點(diǎn)Q為對稱軸與x軸的交點(diǎn)時(shí)，AQ=CQ，再寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．